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そこに有限集合があるから --- 組み合わせ論と数え上げ

使える数学! (2009 年度)
Time-stamp: "2009-11-01 Sun 19:55 JST hig"

担当教員による追加資料などを提供するサポートサイトです.

目次

  1. 最短経路+ウォーミングアップ
  2. カタラン数
  3. カタラン数の意味
  4. 生成関数

追加情報

参考文献

1. は数学の難しくないトピックを新しい視点から解説している. 第7章にカタラン数がでてくる. 2. は系統的な教科書. 3. にはカタラン数のいろいろな応用が扱われている.

訂正と後悔

カタラン数-3(3:45)
[訂正]スライドで, 重要な最終行の式が間違っています. \displaystyle K_n=\frac{1}{1\cdot n+1}\times{\phantom{C}}_{2n}\mathrm{C}_n です. これは\displaystyle K_n=\frac{1}{2n+1}\times{\phantom{C}}_{2n+1}\mathrm{C}_n と書いても等しいです.
カタラン数の意味-1(1:40)
[訂正]スライドで, 途中のどの時点でも上が多くないとだめ, と書いていますが, 途中のどの時点でも「上」の個数が「右」の個数以上でないとだめ, というのが正しいです. 音声では訂正しています.
生成関数-1
[補足]数え上げをやりたいのは, こういう理由もつけられるでしょう. 有限集合S_n を具体的に構成してその元の個数を数えるのは, 元が少ないうちはまだいいですが, 集合が大きくなってくると, 具体的に生成するのも大変だし, 重複がないことを確認するのも大変. それよりはa_n の式を作っておいた方がいいわけです.
生成関数-5
[訂正]スライドで, 重要な最終行の式が間違っています. {\displaystyle F(x)=\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{1\cdot n+1}}\times {}_{2n}\mathrm{C}_n\times x^n です. これは\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n+1}\times {\phantom{C}}_{2n+1}\mathrm{C}_n\times x^n と書いても等しいです.

確認テスト略解

確認テスト略解
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