演習E 08 | 数値計算法☆演習(2010年度)

Time-stamp: "2010-06-17 Thu 07:41 JST hig"

課題(必須)

以下3つの課題がすべてできたら教員またはTAをよんでね.

  • [E081] 定積分

    I_1= \int^{5}_{1}\frac{4}{x^2-6x+13}\;dx
    を考える. 人間の脳を使って, 微積のりでこの定積分の値をノート上で計算して求めよう.

    Hint. 分母を平方完成すると (x-3)^2+2^2となるので, x-3=2\tan \thetaとおいて変数変換. または, x-3=2y とおくと知ってる形になる.

  • [E082] E081の定積分I_1の近似値を, 台形公式によって計算して出力するプログラムを作成しよう. ただし, 分割数としては, N = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, … , 2097152を用いて, 真の値 π に対する誤差とともに, 下のように出力しよう.
    
    #      n   近似値S(n)    誤差S(n)-π
          2 3.000000000000000 -1.415926535897931e-01
          4 3.100000000000000 -4.159265358979303e-02
          8 3.131176470588235 -1.041618300155811e-02
         16 3.138988494491089 -2.604159098703818e-03
    ....
    2097152 ? ?
    
    
  • [E083] 定積分
    I_2= \int^{2}_{0} e^{-(x^2/2)}\;dx
    は, 原始関数の具体的な形が知られていないので, [F(x)]^2_0で計算することはできない. この定積分の 近似値を, 台形公式によって計算して出力するプログラムを作成しよう. ただし, 分割数として, n = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, … , 33554432を用いて, 真の値 1.19628801332260820293142377047... に対する誤差とともに, 下のように出力しよう.
    
    #      n   近似値S(n)        誤差
           2 1.174198301330940 -2.208971199166831e-02
           4 1.190673835636943 -5.614177685665522e-03
           8 1.194879759085185 -1.408254237423634e-03
          16 1.195935669777166 -3.523435454422241e-04
    ....
    33554432 ? ?
    
    

発展問題

余裕のある人だけやってね. Excelによるグラフの描き方

  • [H081] E082の結果を, Excelを使って, 横軸\log n, 縦軸\log|誤差|でグラフに描こう. この傾きが△♯□だってことは, 誤差は台形の高さ h の???に比例?
  • [H082] E083は, 裏口から正しい値をとってきて誤差を求めるというやらせの問題だった. 実際には正しい値がわからないからこそ数値積分したいわけ. そこで誤差を見積もる方法として, E_k=|S(k)-S(k-1)|を誤差とみなす, という方法がある. ここで, S(k)n=2^k分割の時の台形公式による近似値. E082の結果で, 誤差としてE_kを出力するようにしよう. 横軸\log n=\log 2^k, 縦軸\log|E_k|でグラフに描こう. この傾きが△♯□だってことは, 誤差は台形の高さ h の???に比例?
松木平先生の第9回課題を改題して使用させていただいています.

数値計算法☆演習の課題

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