中心極限定理(課題0701)

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1次元連続座標ランダムウォークで, 歩幅 R の確率密度関数が,

3r/2(0 ≤ r < 1),
p(r)=3/2(1 ≤ r < 7/6),
0 (それ以外).
というものを考えよう. Rの平均μRは計算で求めてね. Rの分散σR2は, 大サービス!, 517/6912 で〜す.

tステップ歩いた後のウォーカーの位置を Y(t) とし, 歩幅のサンプル平均 X(t)=Y(t)/t を考える. X(20)のヒストグラムを, サンプルを1000個とって描こう. 講義L06 (代替) で説明した中心極限定理から予想される正規分布( Rの平均μRと Rの分散σR2から平均, 分散が定まる)を重ねて描こう.

グラフを描くのには, 以前にもやったように Excel を使おう. 0.0〜0.01, 0.01〜0.02,1.19〜1.20 の120個の幅Δx=0.01の区間に分割して,

# 区間の中央値 この区間に入るサンプル/サンプルの総数 正規分布の確率密度*区間の幅(0.01)
+0.005000	+0.000000	+0.000000
中略 区切りの空白はTAB
+0.575000	+0.001000	+0.000387
中略
+1.195000	+0.000000	+0.000000
と出力するようなプログラムclt1.cを作り, 出力データを Excel に読み込んで, 散布図としてグラフ作成しよう. (第2,3列は, 要するに区間にはいる確率ですね. 正規分布の確率密度関数は, 平均, 分散として X(20)のもの(中心極限定理から計算できますね)を用い, 区間の真ん中で値をとりましょう. プログラムでいいうと, double normal(double x, int t)

グラフの例. 横軸はX(20), 縦軸は各区間にはいる確率.

Excel 好きな人へのコメント

Cのプログラムではランダムウォークの到達地点の座標を(サンプル数)個だけ 出力するようにして, Excel のほうで集計してヒストグラムを出力することも できます. 暇と興味ある人は試してみよう. ツール>アドイン分析ツールにチェックを入れて, ツール>分析ツール>ヒストグラム です.


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樋口三郎, hig mail address